Fase Skift Moving Average Filteret

gutt, PeterK. jeg kan ikke forestille meg en virkelig lineær og kausal filter som virkelig er IIR. Jeg kan ikke se hvordan du ville få symmetri uten at det var FIR. og semantisk ville jeg kalle en avkortet IIR (TIIR) en metode for å implementere en klasse av FIR. og så får du ikke lineær fase med mindre du er i filtfiltet med den, blokkvis, sorta som Powell-Chau. ndash robert bristow-johnson 26. november kl 3:32 Dette svaret forklarer hvordan filtfilt fungerer. ndash Matt L. Nov 26 15 på 7:48 Et nullfase glidende gjennomsnittfilter er et merkelig lengde-FIR-filter med koeffisienter hvor N er (merkelig) filterlengden. Siden hn har ikke-null-verdier for nlt0, er det ikke årsakssammenheng, og følgelig kan det bare implementeres ved å legge til en forsinkelse, det vil si ved å gjøre det kausal. Vær oppmerksom på at du ikke kan bruke Matlabs filtfilt-funksjonen med det filteret fordi selv om du vil få nullfase (med en forsinkelse), blir størrelsen på filtreoverføringsfunksjonen kvadret, tilsvarende en trekantet impulsrespons (dvs. inntaksprøver lenger bort fra nåværende prøve får mindre vekt). Dette svaret forklarer mer detaljert hva filtfilt gjør. Scientist og Engineers Guide til Digital Signal Processing av Steven W. Smith, Ph. D. Kapittel 19: Rekursive filter Det er tre typer fasespons som et filter kan ha: nullfase. lineær fase. og ikke-lineær fase. Et eksempel på hver av disse er vist i figur 19-7. Som vist i (a), er nullfasefilteret kjennetegnet ved en impulsrespons som er symmetrisk rundt sample zero. Den faktiske formen gjør ikke noe, bare at de negative nummererte prøvene er et speilbilde av de positive nummererte prøvene. Når Fourier-transformasjonen er tatt av denne symmetriske bølgeformen, vil fasen være helt null, som vist i (b). Ulempen med nullfasefilteret er at det krever bruk av negative indekser, noe som kan være ubeleilig å jobbe med. Linjærfasefilteret er en vei rundt dette. Impulsresponsen i (d) er identisk med den som er vist i (a), bortsett fra at den har blitt forskjøvet for å bare bruke positive nummererte prøver. Impulsresponsen er fortsatt symmetrisk mellom venstre og høyre, men plasseringen av symmetrien er forskjøvet fra null. Dette skiftet resulterer i fasen, (e), er en rett linje. regnskap for navnet: lineær fase. Hellingen til denne rette linjen er direkte proporsjonal med mengden av skiftet. Siden skiftet i impulsresponsen bare gir et identisk skifte i utgangssignalet, er det lineære fasefilter ekvivalent med nullfasefilteret for de fleste formål. Figur (g) viser en impulsrespons som ikke er symmetrisk mellom venstre og høyre. Tilsvarende er fasen, (h), ikke en rett linje. Med andre ord har den en ikke-lineær fase. Ikke forveksle vilkårene: ikke-lineær og lineær fase med begrepet system linearitet diskutert i kapittel 5. Selv om begge bruker ordet lineær. de er ikke relaterte. Hvorfor bryr noen om fasen er lineær eller ikke? Figur (c), (f) og (i) viser svaret. Dette er pulsresponsene til hver av de tre filtrene. Pulsresponsen er ikke noe mer enn et positivt skrittrespons etterfulgt av en negativ gå-respons. Pulsresponsen brukes her fordi den viser hva som skjer med både stigende og fallende kanter i et signal. Her er den viktige delen: null - og lineære fasefiltre har venstre og høyre kant som ser like ut. mens ikke-lineære fasefiltre har venstre og høyre kanter som ser annerledes ut. Mange applikasjoner kan ikke tolerere at venstre og høyre kant ser annerledes ut. Et eksempel er visning av et oscilloskop, hvor denne forskjellen kan feilfortolkes som en egenskap av signalet som måles. Et annet eksempel er i videobehandling. Kan du tenke deg å slå på TVen din for å finne venstre øre av favorittskuespilleren din, se forskjellig fra hans høyre øre. Det er enkelt å lage et FIR-filter (finitivt impulsrespons) med en lineær fase. Dette skyldes at impulsresponsen (filterkjernen) er direkte spesifisert i designprosessen. Å lage filterkjernen har venstre-høyre symmetri er alt som kreves. Dette er ikke tilfelle med IIR (rekursive) filtre, siden rekursjonskoeffisientene er det som er spesifisert, ikke impulsresponsen. Impulsresponsen til et rekursivt filter er ikke symmetrisk mellom venstre og høyre, og har derfor en ikke-lineær fase. Analoge elektroniske kretser har samme problem med fasesponsen. Tenk deg en krets bestående av motstander og kondensatorer som sitter på skrivebordet ditt. Hvis inngangen alltid har vært null, vil utgangen også alltid ha vært null. Når en impuls påføres inngangen, vil kondensatorene raskt lades til noe verdi og deretter begynne å eksponensielt forfall gjennom motstandene. Impulsresponsen (dvs. utgangssignalet) er en kombinasjon av disse forskjellige decaying-eksponensialene. Impulsresponsen kan ikke være symmetrisk, fordi utgangen var null før impulsen, og det eksponentielle forfallet når aldri helt til en verdi på null igjen. Analog filterdesignere angriper dette problemet med Bessel-filteret. presenteres i kapittel 3. Bessel-filteret er designet for å ha så lineær fase som mulig, men det ligger langt under ytelsen til digitale filtre. Evnen til å gi en nøyaktig lineær fase er en klar fordel ved digitale filtre. Heldigvis er det en enkel måte å endre rekursive filtre for å oppnå en nullfase. Figur 19-8 viser et eksempel på hvordan dette virker. Inngangssignalet som skal filtreres, er vist i (a). Figur (b) viser signalet etter at det har blitt filtrert av et enkeltpolet lavpasfilter. Siden dette er et ikke-lineært fasefilter, ser ikke venstre og høyre kant ut det samme de er inverterte versjoner av hverandre. Som tidligere beskrevet implementeres dette rekursive filteret ved å starte ved prøve 0 og arbeide mot prøve 150, og beregne hver prøve underveis. Nå antar at i stedet for å flytte fra prøve 0 mot prøve 150, starter vi ved prøve 150 og beveger seg mot prøve 0. Med andre ord beregnes hver prøve i utgangssignalet fra inngangs - og utgangssamplene til høyre for prøven som blir bearbeidet på. Dette betyr at rekursjonsligningen, Eq. 19-1, endres til: Figur (c) viser resultatet av denne omvendte filtreringen. Dette er analog med å sende et analogt signal gjennom en elektronisk RC krets mens kjøretiden går bakover. Sperring og sperring av filteret Filteret i omvendt retning gir ingen fordel i seg selv. Det filtrerte signalet har fortsatt venstre og høyre kant som ikke ser like ut. Den magien skjer når forover og omvendt filtrering er kombinert. Figur (d) resulterer i å filtrere signalet i fremoverretningen og deretter filtrere igjen i omvendt retning. Voila Dette produserer et nullfase rekursivt filter. Faktisk kan et rekursivt filter omdannes til nullfase med denne toveis filtreringsteknikken. Den eneste straffen for denne forbedrede ytelsen er en faktor på to i kjøretid og programkompleksitet. Hvordan finner du impuls - og frekvensresponsene til det totale filteret Størrelsen på frekvensresponsen er den samme for hver retning, mens fasene er motsatt i skiltet. Når de to retningene kombineres, blir størrelsen kvadratisk. mens fasen avbryter til null. I tidsdomenet tilsvarer dette innlemmelsen av den opprinnelige impulsresponsen med en venstre-til-høyre vendt versjon av seg selv. For eksempel er impulsresponsen av et enkeltpolet lavpasfilter et ensidig eksponentiell. Impulsresponsen til det korresponderende toveisjonsfilteret er en ensidig eksponensiell som decays til høyre, sammenklemt med en ensidig eksponensiell som faller til venstre. Å gå gjennom matematikken, viser dette seg å være en dobbeltsidig eksponensiell som faller både til venstre og høyre, med samme forfall konstant som det opprinnelige filteret. Enkelte programmer har bare en del av signalet i datamaskinen på et bestemt tidspunkt, for eksempel systemer som vekselvis skriver inn og utdata data på en kontinuerlig basis. Toveis filtering kan brukes i disse tilfellene ved å kombinere den med overlap-add-metoden beskrevet i siste kapittel. Når du kommer til spørsmålet om hvor lenge impulsresponsen er, si ikke uendelig. Hvis du gjør det, må du kaste hvert signalsegment med et uendelig antall nuller. Husk at impulsresponsen kan avkortes når den har forfallet under det runde lydnivået, dvs. ca. 15 til 20 tidskonstanter. Hvert segment trenger å bli polstret med nuller både til venstre og høyre for å tillate utvidelse under toveis filtrering. FIR-filter, IIR-filtre og den lineære konstant-koeffisient-differanse-ligningen Causal Moving Average (FIR) - filtrene Weve diskuterte systemer i som hver prøve av utgangen er en vektet sum av (visse av) prøvene av inngangen. La oss ta et årsaksvektet sumssystem, hvor årsakssammenheng betyr at en gitt utgangsprøve bare avhenger av gjeldende inngangseksempel og andre innganger tidligere i sekvensen. Verken lineære systemer generelt, og heller ikke finite impulsresponsystemer, må være årsakssammenhengende. Kausalitet er imidlertid praktisk for en slags analyse som skulle undersøke snart. Hvis vi symboliserer inngangene som verdier av en vektor x. og utgangene som tilsvarende verdier av en vektor y. så kan et slikt system skrives som hvor b-verdiene er quotweightsquot brukt på de nåværende og tidligere inngangssamplene for å få den nåværende utgangsprøven. Vi kan tenke på uttrykket som en ligning, med likestillingsbetegnelsen betyr lik, eller som en prosedyreinstruksjon, med likestillingsbetegnelsen. Lar oss skrive uttrykket for hver utgangseksempel som en MATLAB-sløyfe med oppgaveoppgavene, hvor x er en N-lengdevektor av inngangsprøver, og b er en M-lengdevektor med vekt. For å håndtere det spesielle tilfellet ved starten, vil vi legge inn x i en lengre vektor xhat hvis første M-1-prøver er null. Vi vil skrive den veide summasjonen for hver y (n) som et indre produkt, og vil gjøre noen manipulasjoner av inngangene (som reversering b) til dette formål. Denne typen system kalles ofte et bevegelig gjennomsnittsfilter av åpenbare årsaker. Fra våre tidligere diskusjoner bør det være åpenbart at et slikt system er lineært og skift-invariant. Selvfølgelig vil det være mye raskere å bruke MATLAB convolution-funksjonen conv () i stedet for vår mafilt (). I stedet for å vurdere de første M-1-prøvene av inngangen til å være null, kan vi betrakte dem til å være de samme som de siste M-1-prøvene. Dette er det samme som å behandle inngangen som periodisk. Vel bruk cmafilt () som navnet på funksjonen, en liten modifikasjon av den tidligere mafilt () - funksjonen. Ved å bestemme impulsresponsen til et system er det vanligvis ingen forskjell mellom disse to, siden alle ikke-første prøver av inngangen er null: Siden et slikt system er lineært og skiftende, vet vi at dens effekt på alle sinusoid vil bare være å skalere og skifte den. Her er det viktig at vi bruker den sirkulære versjonen Den sirkulært-konvolverte versjonen skiftes og skaleres litt, mens versjonen med vanlig konvolusjon er forvrengt i starten. Lar se hva den eksakte skaleringen og skiftingen er ved å bruke en fft: Både inngang og utgang har amplitude bare ved frekvenser 1 og -1, som er som det burde være, gitt at inngangen var en sinusformet og systemet var lineært. Utgangsverdiene er større med et forhold på 10,62518 1,3281. Dette er gevinsten til systemet. Hva med fasen Vi trenger bare å se hvor amplitude er ikke-null: Inngangen har en fase av pi2, som vi ba om. Utgangsfasen skiftes med ytterligere 1,0594 (med motsatt tegn for negativ frekvens), eller ca. 16 av en syklus til høyre, som vi kan se på grafen. Nå kan vi prøve en sinusoid med samme frekvens (1), men i stedet for amplitude 1 og fase pi2, kan vi prøve amplitude 1.5 og fase 0. Vi vet at bare frekvens 1 og -1 vil ha null null amplitude, så vi kan bare se på dem: Igjen er amplitudeforholdet (15.937712.0000) 1.3281 - og for fasen blir det igjen skiftet med 1.0594 Hvis disse eksemplene er typiske, kan vi forutsi effekten av vårt system (impulsrespons .1 .2 .3 .4 .5) på hvilken som helst sinusoid med frekvens 1 - amplituden vil bli økt med en faktor på 1,3281 og den (positive frekvens) fase vil bli forskyvet med 1,0594. Vi kunne fortsette å beregne effekten av dette systemet på sinusoider av andre frekvenser med samme metoder. Men det er en mye enklere måte, og en som etablerer det generelle punktet. Siden (sirkulær) konvolusjon i tidsdomenet betyr multiplikasjon i frekvensdomenet, følger det med at DFT av impulsresponsen med andre ord er forholdet mellom DFT for utgangen og DFT på inngangen. I dette forholdet er DFT-koeffisientene komplekse tall. Siden abs (c1c2) abs (c1) abs (c2) for alle komplekse tall c1, c2, forteller denne ligningen oss at amplitudespektret for impulsresponsen alltid vil være forholdet mellom amplitudespektret for utgangen og inngangen til inngangen . I tilfelle av fasespektret er vinkel (c1c2) vinkel (c1) - vinkel (c2) for alle c1, c2 (med den forutsetning at faser som er forskjellige med n2pi regnes like). Fasespektret for impulsresponsen vil derfor alltid være forskjellen mellom fasespekteret for utgangen og inngangen (med hvilke korrigeringer med 2pi som er nødvendig for å holde resultatet mellom - pi og pi). Vi kan se fasevirkningene tydeligere hvis vi pakker ut representasjonen av fase, dvs. hvis vi legger til flere multipler på 2pi etter behov for å minimere hoppene som er produsert av periodisk karakter av vinkelen () - funksjonen. Selv om amplitude og fase vanligvis brukes til grafisk og jevn tabellpresentasjon, da de er en intuitiv måte å tenke på effekten av et system på de forskjellige frekvenskomponentene i inngangen, er de komplekse Fourier-koeffisientene mer nyttige algebraisk, siden de tillater det enkle uttrykket for forholdet Den generelle tilnærmingen vi nettopp har sett vil fungere med vilkårlig filtre av typen skissert, hvor hver utgangseksempel er en vektet sum av et sett av inngangssampler. Som nevnt tidligere kalles disse ofte Finite Impulse Response-filtre, fordi impulsresponsen er av fin størrelse, eller noen ganger Flyttende gjennomsnittlig filtre. Vi kan bestemme frekvensresponsegenskapene til et slikt filter fra FFT av impulsresponsen, og vi kan også designe nye filtre med ønskede egenskaper ved IFFT fra en spesifikasjon av frekvensresponsen. Autoregressive (IIR) - filtre Det ville være lite poeng å ha navn på FIR-filtre, med mindre det var noen andre slags å skille dem fra, og så de som har studert pragmatikk, vil ikke bli overrasket over at det er en annen stor art av lineært tidsinvariant filter. Disse filtrene kalles noen ganger rekursive fordi verdien av tidligere utganger (samt tidligere innganger) betyr noe, selv om algoritmene generelt skrives ved hjelp av iterative konstruksjoner. De kalles også Infinite Impulse Response (IIR) filtre, fordi deres respons på en impuls generelt går for alltid. De kalles også noen ganger autoregressive filtre, fordi koeffisientene kan tenkes som følge av å foreta lineær regresjon for å uttrykke signalverdier som en funksjon av tidligere signalverdier. Forholdet mellom FIR og IIR-filtre kan ses tydelig i en lineær konstant-koeffisientforskjellekvasjon, dvs. å sette en vektet sum av utganger som er lik en vektet sum av innganger. Dette er som ligningen som vi ga tidligere for årsakssystemet FIR-filter, bortsett fra at i tillegg til den vektede summen av innganger, har vi også en vektet sum av utganger. Hvis vi ønsker å tenke på dette som en prosedyre for å generere utgangseksempler, må vi omorganisere ligningen for å få et uttrykk for gjeldende utgangssprøve y (n), Vedta konvensjonen at a (1) 1 (f. eks. Ved å skalere andre som og bs), kan vi kvitte seg med 1a (1) termen: y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). b (Nb1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - a (Na1) y (n-na) Hvis alle a (n) annet enn a (1) er null, reduseres dette til vår gamle venn, det kausale FIR-filteret. Dette er det generelle tilfellet av et (kausal) LTI filter, og implementeres av MATLAB-funksjonsfilteret. La oss se på tilfellet der b-koeffisientene bortsett fra b (1) er null (i stedet for FIR-tilfellet, hvor a (n) er null): I dette tilfellet beregnes nåværende utgangsprøve y (n) som en vektet kombinasjon av gjeldende inngangseksempel x (n) og tidligere utgangsprøver y (n-1), y (n-2) osv. For å få en ide om hva som skjer med slike filtre, kan vi starte med tilfellet hvor: Det vil si at den nåværende utgangsprøven er summen av gjeldende inngangseksempel og halvparten av den forrige utgangsprøven. Vel ta en inngangspuls gjennom noen få skritt, en om gangen. Det skal være klart på dette punktet at vi enkelt kan skrive et uttrykk for nth utgangsprøveverdien: det er bare (Hvis MATLAB telles fra 0, ville dette bare være .5n). Siden det vi beregner er impulsresponsen til systemet, har vi vist ved eksempel at impulsresponsen faktisk kan ha uendelig mange ikke-nullprøver. For å implementere dette trivielle førstegangsfilteret i MATLAB kunne vi bruke filter. Samtalen vil se slik ut: og resultatet er: Er denne virksomheten virkelig fortsatt lineær? Vi kan se på dette empirisk: For en mer generell tilnærming, vurder verdien av en utgangseksempel y (n). Ved suksessiv substitusjon kan vi skrive dette som Dette er akkurat som vår gamle venn, follopsjonssummen av et FIR-filter, med impulsresponsen gitt av uttrykket .5k. og lengden på impulsresponsen er uendelig. Dermed de samme argumentene som vi pleide å vise at FIR-filtre var lineære, vil nå gjelde her. Så langt kan dette virke som mye oppstyr om ikke mye. Hva er denne hele undersøkelsesgruppen god for Vel, svar på dette spørsmålet i faser, med utgangspunkt i et eksempel. Det er ikke en stor overraskelse at vi kan beregne en samplet eksponensiell ved rekursiv multiplikasjon. La oss se på et rekursivt filter som gjør noe mindre tydelig. Denne gangen gjør du det til et andreordfilter, slik at anropet til filteret vil være av skjemaet. Lets angi den andre utgangskoeffisienten a2 til -2cos (2pi40), og den tredje utgangskoeffisienten a3 til 1, og se på impulsen respons. Ikke veldig nyttig som et filter, men det genererer en samplet sinusbølge (fra en impuls) med tre multipliser-adds per prøve. For å forstå hvordan og hvorfor det gjør dette, og hvordan rekursive filtre kan utformes og analyseres i Jo mer generelt, vi må gå tilbake og ta en titt på noen andre egenskaper av komplekse tall, på vei til å forstå z transformen. Tidsserieanalyse: Prosessen med sesongjustering Hva er de to hovedfilosofiene av sesongjustering Hva er et filter Hva er sluttpunktsproblemet Hvordan bestemmer vi hvilket filter som skal brukes Hva er en gevinstfunksjon Hva er en faseskift Hva er Henderson-glidende gjennomsnitt Hvordan håndterer vi sluttpunktsproblemet Hva er sesongmessige glidende gjennomsnitt Hvorfor er trendestimater revidert Hvor mye data kreves for å oppnå akseptable sesongjusterte estimater AVANSERT Hvordan sammenligner de to sesongjusteringsfilosofiene HVA ER DE TO HOVEDFILOSOPIER AV SESONGSJUSTERING De to hovedfilosofiene Ies for sesongjustering er modellbasert metode og filterbasert metode. Filterbaserte metoder Denne metoden gjelder et sett med faste filtre (glidende gjennomsnitt) for å dekomponere tidsserien til en trend, sesongmessig og uregelmessig komponent. Den underliggende oppfatningen er at økonomiske data består av en rekke sykluser, inkludert forretningssykluser (trenden), sesongmessige sykluser (sesongmessighet) og støy (den uregelmessige komponenten). Et filter fjerner i hovedsak eller reduserer styrken til visse sykluser fra inngangsdataene. For å produsere en sesongjustert serie fra data samlet hver måned, må hendelser som forekommer hver 12, 6, 4, 3, 2,4 og 2 måneder fjernes. Disse tilsvarer sesongfrekvenser på 1, 2, 3, 4, 5 og 6 sykluser per år. De lengre ikke sesongmessige syklusene anses å være en del av trenden, og de kortere sesongmessige syklusene danner det uregelmessige. Men grensen mellom trend og uregelmessige sykluser kan variere med lengden på filteret som brukes til å oppnå trenden. Ved ABS sesongjustering er sykluser som bidrar betydelig til trenden, vanligvis større enn ca 8 måneder for månedlige serier og fire kvartaler for kvartalsserier. Trenden, sesongmessige og uregelmessige komponenter trenger ikke eksplisitte individuelle modeller. Den uregelmessige komponenten er definert som det som gjenstår etter at trenden og sesongkomponenter er fjernet av filtre. Irregulars viser ikke hvite støyegenskaper. Filterbaserte metoder er ofte kjent som X11-stilmetoder. Disse inkluderer X11 (utviklet av US Census Bureau), X11ARIMA (utviklet av Statistikk Canada), X12ARIMA (utviklet av US Census Bureau), STL, SABL og SEASABS (pakken som brukes av ABS). Beregningsforskjeller mellom ulike metoder i X11-familien er hovedsakelig resultatet av ulike teknikker som brukes i enden av tidsseriene. For eksempel bruker noen metoder asymmetriske filtre i enden, mens andre metoder ekstrapolerer tidsseriene og bruker symmetriske filtre til den utvidede serien. Modellbaserte metoder Denne tilnærmingen krever at trend, sesongmessige og uregelmessige komponenter i tidsseriene skal modelleres separat. Det antas at den uregelmessige komponenten er 8220white noise8221 - det vil si alle sykluslengder er like representert. Irregulærene har null gjennomsnitt og en konstant varians. Sesongkomponenten har sitt eget støyelement. To mye brukte programvarepakker som bruker modellbaserte metoder, er STAMP og SEATSTRAMO (utviklet av Bank of Spain. Store beregningsforskjeller mellom de ulike modellbaserte metodene skyldes vanligvis modellspesifikasjoner. I noen tilfeller er komponentene modellert direkte. krever at de opprinnelige tidsseriene skal modelleres først, og komponentmodellene dekomponeres derfra. For en sammenligning av de to filosofiene på et mer avansert nivå, se Hvordan sammenligner de to sesongjusteringsfilosofiene HVA ER FILTER Filtre kan brukes til å dekomponere en tidsserie i en trend, sesongmessig og uregelmessig komponent. Flytende gjennomsnitt er en type filter som etter hvert gjennomsnittlig en skiftende tidsperiode for data for å gi et jevnt estimat av en tidsserie. Denne glatte serien kan anses å ha blitt utledet ved å kjøre en inngangsserie gjennom en prosess hvor det filtreres ut visse sykluser. Derfor blir et glidende gjennomsnitt ofte referert til som et filter. Den grunnleggende prosessen innebærer å definere et sett med lengdevekter m 1 m 2 1 som: Merk: et symmetrisk sett med vekter har m 1 m 2 og wjw - j En filtrert verdi ved tidspunkt t kan beregnes av hvor Y t beskriver verdien av tidsserien ved tid t. For eksempel, vurder følgende serie: Ved å bruke et enkelt 3-termers symmetrisk filter (dvs. m 1 m 2 1 og alle vektene er 13), oppnås den første termen av den glatte serien ved å bruke vektene til de tre første uttrykkene i originalen serie: Den andre glattede verdien er produsert ved å bruke vektene til andre, tredje og fjerde termer i den originale serien: HVA ER SLUTPUNKTET PROBLEM Revurdere serien: Denne serien inneholder 8 termer. Den glatte serien som oppnås ved å bruke symmetrisk filter til de opprinnelige dataene inneholder imidlertid bare 6 termer: Dette skyldes at det ikke er nok data i enden av serien til å bruke et symmetrisk filter. Den første termen av den glatte serien er et vektet gjennomsnitt på tre termer, sentrert på den andre sikt av den opprinnelige serien. Et vektet gjennomsnitt sentrert på første sikt av den opprinnelige serien kan ikke oppnås som data før dette punktet ikke er tilgjengelig. På samme måte er det ikke mulig å beregne et vektet gjennomsnitt sentrert på siste sikt i serien, da det ikke foreligger data etter dette punktet. Av denne grunn kan symmetriske filtre ikke brukes i hver ende av en serie. Dette er kjent som sluttpunktsproblemet. Tidsserieanalytikere kan bruke asymmetriske filtre til å produsere glatte estimater i disse regionene. I dette tilfellet beregnes den glatte verdien 8216off center8217, med gjennomsnittet bestemmes ved å bruke flere data fra en side av punktet enn det andre i henhold til det som er tilgjengelig. Alternativt kan modelleringsteknikker brukes til å ekstrapolere tidsseriene og deretter bruke symmetriske filtre til den utvidede serien. HVORDAN BESLUKER vi FILTER TIL BRUK Tidsserien analytiker velger et passende filter basert på egenskapene, for eksempel hvilke sykluser filteret fjerner når det brukes. Egenskapene til et filter kan undersøkes ved hjelp av en forsterkningsfunksjon. Gain-funksjoner brukes til å undersøke effekten av et filter ved en gitt frekvens på amplituden til en syklus for en bestemt tidsserie. For mer informasjon om matematikken assosiert med gevinstfunksjoner, kan du laste ned Time Series Course Notes, en introduksjonsveiledning for tidsserieanalyse publisert av Time Series Analysis Section av ABS (se avsnitt 4.4). Følgende diagram er gevinstfunksjonen for det symmetriske 3-term filteret vi studerte tidligere. Figur 1: Gain-funksjon for symmetrisk 3-termofilter Den horisontale akse representerer lengden på en inngangssyklus i forhold til perioden mellom observasjonspoeng i den opprinnelige tidsserien. Så en inngangssyklus med lengde 2 er fullført i 2 perioder, som representerer 2 måneder for en månedlig serie og 2 kvartaler for kvartalserier. Den vertikale aksen viser amplituden til utgangssyklusen i forhold til en inngangssyklus. Dette filteret reduserer styrken på 3 periodesykluser til null. Det vil si, det fjerner helt syklene av omtrent denne lengden. Dette betyr at for en tidsserie hvor data samles inn månedlig, vil eventuelle sesongmessige effekter som oppstår kvartalsvis, elimineres ved å bruke dette filteret til den opprinnelige serien. En faseskift er tidsforskyvningen mellom den filtrerte syklusen og den ufiltrerte syklusen. En positiv faseforskyvning innebærer at den filtrerte syklusen forskyves bakover og en negativ faseforskyvning skiftes fremover i tid. Faseforskyvning skjer når timing av vendepunkter er forvrengt, for eksempel når det bevegelige gjennomsnittet er plassert utenfor midten av de asymmetriske filtre. Det vil si at de vil forekomme enten tidligere eller senere i den filtrerte serien, enn i originalen. Ulike lengde symmetriske glidende gjennomsnitt (som brukt av ABS), der resultatet er sentralt plassert, ikke forårsake tidsfaseforskyvning. Det er viktig at filtre brukes til å utlede trenden for å beholde tidsfasen, og dermed tidspunktet for eventuelle vendepunkter. Figur 2 og 3 viser virkningen av å anvende et 2x12 symmetrisk glidende gjennomsnitt som er utenfor sentrum. De kontinuerlige kurvene representerer de innledende syklusene, og de ødelagte kurver representerer utgangssyklusene etter påføring av det bevegelige gjennomsnittsfilter. Figur 2: 24-måneders syklus, fase -5,5 måneder Amplitude 63 Figur 3: 8 måneders syklus, fase -1,5 måneder Amplitude 22 HVA ER HENDERSON BEVÆGENDE AVERAGES Henderson glidende gjennomsnitt er filtre som ble avledet av Robert Henderson i 1916 for bruk i aktuarmessige applikasjoner. De er trendfiltre, som ofte brukes i tidsserieanalyse for å jevne sesongjusterte estimater for å generere et trendestimat. De brukes i preferanse til enklere bevegelige gjennomsnitt fordi de kan reprodusere polynomene på opp til grad 3, og derved fange trend vendepunkter. ABS bruker Henderson glidende gjennomsnitt for å produsere trend estimater fra en sesongjustert serie. Trendsberegningene som ble publisert av ABS er vanligvis avledet ved hjelp av et 13-termers Henderson-filter for månedlige serier, og et 7-termers Henderson-filter for kvartalsserier. Henderson-filtre kan være enten symmetriske eller asymmetriske. Symmetriske glidende gjennomsnitt kan brukes på punkter som er tilstrekkelig langt borte fra endene av en tidsserie. I dette tilfellet beregnes den glatte verdien for et gitt punkt i tidsseriene ut fra et like antall verdier på hver side av datapunktet. For å oppnå vektene, treffer det et kompromiss mellom de to karakteristikkene som generelt forventes av en trendserie. Dette er at trenden skal kunne representere et bredt spekter av krumninger og at det også skal være så glatt som mulig. For matematisk avledning av vekter, se avsnitt 5.3 i Time Series kursnotene. som kan lastes ned gratis fra ABS nettsiden. Vektemønstrene for en rekke symmetriske Henderson-glidende gjennomsnitt er gitt i følgende tabell: Symmetrisk vektmønster for Henderson Moving Average Generelt, desto lengre trendfilteret er jo jo bedre den resulterende trenden, som det fremgår av en sammenligning av forsterkningsfunksjonene ovenfor. En 5-term Henderson reduserer sykluser på omtrent 2,4 perioder eller mindre med minst 80, mens en 23-term Henderson reduserer sykluser på ca. 8 perioder eller mindre med minst 90. Faktisk fjerner et 23-termers Henderson-filter totalt sykluser på mindre enn 4 perioder . Henderson-glidende gjennomsnitt dämper også sesongmessige sykluser i varierende grad. Men gevinstfunksjonene i figurene 4-8 viser at årlige sykluser i månedlige og kvartalsvise serier ikke er dempet sterkt nok til å rettferdiggjøre et Henderson-filter direkte til opprinnelige estimater. Dette er grunnen til at de bare brukes på en sesongjustert serie, der kalendereelaterte effekter allerede er fjernet med spesialdesignede filtre. Figur 9 viser utjevningseffektene ved å bruke et Henderson-filter til en serie: Figur 9: 23-Term Henderson-filter - Verdi av ikke-boligbyggingsgodkjenninger HVORDAN GJØR VI AV ENDPUNKTPROBLEMET Det symmetriske Henderson-filteret kan bare brukes til regioner av data som er tilstrekkelig langt borte fra endene av serien. For eksempel kan standard 13-termen Henderson bare brukes på månedlige data som er minst 6 observasjoner fra start eller slutt på dataene. Dette skyldes at filteret glatter serien ved å ta et veid gjennomsnitt av de 6 vilkårene på begge sider av datapunktet, samt selve punktet. Hvis vi forsøker å bruke det til et punkt som er mindre enn 6 observasjoner fra slutten av dataene, er det ikke nok data tilgjengelig på den ene siden av punktet for å beregne gjennomsnittet. For å gi trendestimater av disse datapunktene, brukes et modifisert eller asymmetrisk glidende gjennomsnitt. Beregning av asymmetriske Henderson-filtre kan genereres ved hjelp av en rekke forskjellige metoder som gir lignende, men ikke like resultater. De fire hovedmetodene er Musgrave-metoden, Minimering av gjennomsnittsfirkant-revisjonsmetoden, Den beste Linear Unbiased Estimate (BLUE) - metoden, og Kenny og Durbin-metoden. Shiskin et. al (1967) avledet de originale asymmetriske vektene for Henderson-glidende gjennomsnittet som brukes innenfor X11-pakkene. For information on the derivation of the asymmetric weights, see section 5.3 of the Time Series Course Notes . Consider a time series where the last observed data point occurs at time N. Then a 13 term symmetric Henderson filter cannot be applied to data points which are measured at any time after and including time N-5. For all these points, an asymmetric set of weights must be used. The following table gives the asymmetric weighting pattern for a standard 13 term Henderson moving average. The asymmetric 13 term Henderson filters do not remove or dampen the same cycles as the symmetric 13 term Henderson filter. In fact the asymmetric weighting pattern used to estimate the trend at the last observation amplifies the strength of 12 period cycles. Also asymmetric filters produce some time phase shifting. WHAT ARE SEASONAL MOVING AVERAGES Almost all of the data investigated by the ABS have seasonal characteristics. Since the Henderson moving averages used to estimate the trend series do not eliminate seasonality, the data must be seasonally adjusted first using seasonal filters. A seasonal filter has weights which are applied to same period over time. An example of the weighting pattern for a seasonal filter would be: (13, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13) where, for instance, a weight of one third is applied to three consecutive Januarys. Within X11, a range of seasonal filters are available to choose from. These are a weighted 3-term moving average (ma) S 3x1 . weighted 5-term ma S 3x3 . weighted 7-term ma S 3x5 . and a weighted 11-term ma S 3x9 . The weighting structure of weighted moving averages of the form, S nxm . is that a simple average of m terms calculated, and then a moving average of n of these averages is determined. This means that nm-1 terms are used to calculate each final smoothed value. For example, to calculate an 11-term S 3x9 . a weight of 19 is applied to the same period in 9 consecutive years. Then a simple 3 term moving average is applied across the averaged values: This gives a final weighting pattern of (127, 227, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 227, 127). The gain function for an 11 term seasonal filter, S 3x9 . looks like: Figure 10: Gain Function for 11 Term (S 3x9 ) Seasonal Filter Applying a seasonal filter to data will generate an estimate of the seasonal component of the time series, as it preserves the strength of seasonal harmonics and dampens cycles of non-seasonal lengths. Asymmetric seasonal filters are used at the ends of the series. The asymmetric weights for each of the seasonal filters used in X11 can be found in section 5.4 of the Time Series Course Notes . WHY ARE TREND ESTIMATES REVISED At the current end of a time series, it is not possible to use symmetric filters to estimate the trend because of the end point problem . Instead, asymmetric filters are used to produce provisional trend estimates. However, as more data becomes available, it is possible to recalculate the trend using symmetric filters and improve the initial estimates. This is known as a trend revision. HOW MUCH DATA IS REQUIRED TO OBTAIN ACCEPTABLE SEASONALLY ADJUSTED ESTIMATES If a time series exhibits relatively stable seasonality and is not dominated by the irregular component, then 5 years of data can be considered an acceptable length to derive seasonally adjusted estimates from. For a series that shows particularly strong and stable seasonality, a crude adjustment can be made with 3 years of data. It is generally preferable to have at least 7 years of data for a normal time series, to precisely identify seasonal patterns, trading day and moving holiday effects, trend and seasonal breaks, as well as outliers. ADVANCED HOW DO THE TWO SEASONAL ADJUSTMENT PHILOSOPHIES COMPARE Model based approaches allow for the stochastic properties (randomness) of the series under analysis, in the sense that they tailor the filter weights based on the nature of the series. The model8217s capability for accurately describing the behaviour of the series can be evaluated, and statistical inferences for the estimates are available based on the assumption that the irregular component is white noise. Filter based methods are less dependent on the stochastic properties of the time series. It is the time series analyst8217s responsibility to select the most appropriate filter from a limited collection for a particular series. It is not possible to perform rigorous checks on the adequacy of the implied model and exact measures of precision and statistical inference are not available. Therefore, a confidence interval cannot be built around the estimate. The following diagrams compare the presence of each of the model components at the seasonal frequencies for the two seasonal adjustment philosophies. The x axis is the period length of the cycle and the y axis represents the strength of the cycles which comprise each component: Figure 11: Comparison of the two seasonal adjustment philosophies Filter based methods assume that the each component exists only a certain cycle lengths. The longer cycles form the trend, the seasonal component is present at seasonal frequencies and the irregular component is defined as cycles of any other length. Under a model based philosophy, the trend, seasonal and irregular component are present at all cycle lengths. The irregular component is of constant strength, the seasonal component peaks at seasonal frequencies and the trend component is strongest in the longer cycles. This page first published 14 November 2005, last updated 25 July 2008